第四十八章 课堂
如果你有闲暇问一个数学系的大一新生，学习数学是一种什么样的体验的时候，那位百分之九十九的一脸意味深长的告诉你，就好像是一个不懂英语的人去电影院看英文电影，但可耻的是，导演组有意无意的去掉了字幕，那叫一个酸爽。
如果你问一个华罗庚班的学生学习数学是一种什么样的体验的时候，他会一脸茫然的告诉你，不就是加减乘除那回事吗？
数学是一门极其讲究数学天分的学科，也是目前人类研究的最为透彻的、最为深入的一门自然科学。数学是唯一一门将几百年前的知识放在课本里面，你还会觉得超纲的学科，这就是数学。
普通的数学系学生，学习的都是几百年前欧拉、高斯甚至费马，笛卡尔等人创立的理论。与此同时，物理系的学生绝对在学习相对论、量子力学等属于物理学前沿的问题。
但对于一些天份卓越的天才来说，仅仅是书本上的东西，远远不够。以他们的能耐，书本上的东西完全可以当做自由读本，里面的知识，看一看就掌握了，完全没有挑战性。而这个时候，他们需要的是进一步的深化研究，深入到各个领域的前沿或者是准前沿，了解各方面的动态。并根据这些动态，选择自己要研究的方向。华罗庚班的学生，就是这样的一群人。
而君信等一批老师的职责便是帮他们补齐书本上的知识和数学研究各个领域的最新动态之间他们缺失的那部分知识。这其实已经是研究生，甚至是博士生的课程范围了。
所以说，面对这样的一群数学界的天之骄子，任何一位老师，甚至教授都会产生很大的压力。这种压力无一例外的都是担心自己才疏学浅，误人子弟，君信亦然。
不过君信相比其他人多了一点的底气，他毕竟多了这个时代近三十年的发展，了解数学发展的趋势，所以很多东西都完全可以应用到自己的课程中来。加上他曾经多次聆听过一些世界级的数学大师的讲课和讲座，多少了解他们对数学的看法，取长补短之下，也因此形成了自己对数学的看法。
“我是你们以后一段时间的代数几何课程的老师，你们会在接下来一个月的时间里面接受我向你们传输的关于代数几何基础方面的知识，有什么疑问吗？”君信很淡然向下面坐着的华罗庚补习班的学生说道。等到他真正站在了讲台上的时候，那种紧张的感觉忽然便消失不见，取而代之的是一种一切尽在掌握之中的感觉。
八十年代的学生眼里，老师是长辈级别的人物，所以尽管他们看到君信如此的年轻就站在讲台上，虽然惊诧，却也没有出言反对。而是一言不语的看着君信，等待着他接下来的举动。
君信见到没有人发言，便点了点头，继续说道：“我们首先从数学的发展来说明什么是代数几何。用代数的方法研究几何的思想，在继出现解析几何之后，又发展为几何学的另一个分支，这就是代数几何。代数几何学研究的对象是平面的代数曲线、空间的代数曲线和代数曲面。”
“代数几何的研究是从19世纪上半叶关于三次或更高次的平面曲线的研究开始的。例如，阿贝尔在关于椭圆积分的研究中，发现了椭圆函数的双周期性，从而奠定了椭圆曲线理论基础。
黎曼1857年引入并发展了代数函数论，从而使代数曲线的研究获得了一个关键性的突破。黎曼把他的函数定义在复数平面的某种多层复迭平面上，从而引入了所谓黎曼曲面的概念。运用这个概念，黎曼定义了代数曲线的一个最重要的数值不变量：亏格。这也是代数几何历史上出现的第一个绝对不变量。并首次考虑了亏格g相同的所有黎曼曲面的双有理等价类的参量簇问题，并且发现这个参量簇的维数应该是3g-3，虽然黎曼没有能严格证明它的存在性。
在黎曼之后，德国数学家诺特等人用几何方法获得了代数曲线的许多深刻的性质。诺特还对代数曲面的性质进行了研究。他的成果给以后意大利学派的工作建立了基础。
从19世纪末开始，出现了以卡斯特尔诺沃、恩里奎斯和塞维里为代表的意大利学派以及以庞加莱、皮卡和莱夫谢茨为代表的法国学派。他们对复数域上的低维代数簇的分类作了许多非常重要的工作，特别是建立了被认为是代数几何中最漂亮的理论之一的代数曲面分类理论。但是由于早期的代数几何研究缺乏一个严格的理论基础，这些工作中存在不少漏洞和错误，其中个别漏洞直到目前还没有得到弥补。
20世纪以来代数几何最重要的进展之一是它在最一般情形下的理论基础的建立。20世纪30年代，扎里斯基和范·德·瓦尔登等首先在代数几何研究中引进了交换代数的方法。在此基础上，韦伊在40年代利用抽象代数的方法建立了抽象域上的代数几何理论，然后20世纪50年代中期，法国数学家塞尔把代数簇的理论建立在层的概念上，并建立了凝聚层的上同调理论，这个为格罗腾迪克随后建立概型理论奠定了基础，他在讨论班的讲义《代数几何基础》（EGA，SGA，FGA）成为该领域的圣经。概型理论的建立使代数几何的研究进入了一个全新的阶段。概型的概念是代数簇的推广，它允许点的坐标在任意有单位元的交换环中选取，并允许结构层中存在幂零元。”
说道这里，君信顿了顿继续道：“前不久，因为我以代数几何学的思维方法解决了数论领域的莫得尔猜想问题，从而获得了格罗藤迪克先生的亲睐，并与他就这方面的知识进行了相关的讨论。”
君信的话音刚落，底下坐着的人一下子便激动起来，看向君信的眼神也立刻变得格外不同起来。
君信没有理会下面的人，继续说道：“鉴于代数几何发展的历史变迁，我们想要学习这门课需要一定的基础，你需要了解抽象代数、交换代数、同调代数，除此之外，你还需要了解再加上代数拓扑、微分几何、复分析、多复变函数以及黎曼几何、数论等方面的知识。未来两个星期的时间里，这些知识我会挑选最重要的讲解一下，两个星期之后，你们将面临着真正的代数几何学的知识。”
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如果你问一个华罗庚班的学生学习数学是一种什么样的体验的时候，他会一脸茫然的告诉你，不就是加减乘除那回事吗？
数学是一门极其讲究数学天分的学科，也是目前人类研究的最为透彻的、最为深入的一门自然科学。数学是唯一一门将几百年前的知识放在课本里面，你还会觉得超纲的学科，这就是数学。
普通的数学系学生，学习的都是几百年前欧拉、高斯甚至费马，笛卡尔等人创立的理论。与此同时，物理系的学生绝对在学习相对论、量子力学等属于物理学前沿的问题。
但对于一些天份卓越的天才来说，仅仅是书本上的东西，远远不够。以他们的能耐，书本上的东西完全可以当做自由读本，里面的知识，看一看就掌握了，完全没有挑战性。而这个时候，他们需要的是进一步的深化研究，深入到各个领域的前沿或者是准前沿，了解各方面的动态。并根据这些动态，选择自己要研究的方向。华罗庚班的学生，就是这样的一群人。
而君信等一批老师的职责便是帮他们补齐书本上的知识和数学研究各个领域的最新动态之间他们缺失的那部分知识。这其实已经是研究生，甚至是博士生的课程范围了。
所以说，面对这样的一群数学界的天之骄子，任何一位老师，甚至教授都会产生很大的压力。这种压力无一例外的都是担心自己才疏学浅，误人子弟，君信亦然。
不过君信相比其他人多了一点的底气，他毕竟多了这个时代近三十年的发展，了解数学发展的趋势，所以很多东西都完全可以应用到自己的课程中来。加上他曾经多次聆听过一些世界级的数学大师的讲课和讲座，多少了解他们对数学的看法，取长补短之下，也因此形成了自己对数学的看法。
“我是你们以后一段时间的代数几何课程的老师，你们会在接下来一个月的时间里面接受我向你们传输的关于代数几何基础方面的知识，有什么疑问吗？”君信很淡然向下面坐着的华罗庚补习班的学生说道。等到他真正站在了讲台上的时候，那种紧张的感觉忽然便消失不见，取而代之的是一种一切尽在掌握之中的感觉。
八十年代的学生眼里，老师是长辈级别的人物，所以尽管他们看到君信如此的年轻就站在讲台上，虽然惊诧，却也没有出言反对。而是一言不语的看着君信，等待着他接下来的举动。
君信见到没有人发言，便点了点头，继续说道：“我们首先从数学的发展来说明什么是代数几何。用代数的方法研究几何的思想，在继出现解析几何之后，又发展为几何学的另一个分支，这就是代数几何。代数几何学研究的对象是平面的代数曲线、空间的代数曲线和代数曲面。”
“代数几何的研究是从19世纪上半叶关于三次或更高次的平面曲线的研究开始的。例如，阿贝尔在关于椭圆积分的研究中，发现了椭圆函数的双周期性，从而奠定了椭圆曲线理论基础。
黎曼1857年引入并发展了代数函数论，从而使代数曲线的研究获得了一个关键性的突破。黎曼把他的函数定义在复数平面的某种多层复迭平面上，从而引入了所谓黎曼曲面的概念。运用这个概念，黎曼定义了代数曲线的一个最重要的数值不变量：亏格。这也是代数几何历史上出现的第一个绝对不变量。并首次考虑了亏格g相同的所有黎曼曲面的双有理等价类的参量簇问题，并且发现这个参量簇的维数应该是3g-3，虽然黎曼没有能严格证明它的存在性。
在黎曼之后，德国数学家诺特等人用几何方法获得了代数曲线的许多深刻的性质。诺特还对代数曲面的性质进行了研究。他的成果给以后意大利学派的工作建立了基础。
从19世纪末开始，出现了以卡斯特尔诺沃、恩里奎斯和塞维里为代表的意大利学派以及以庞加莱、皮卡和莱夫谢茨为代表的法国学派。他们对复数域上的低维代数簇的分类作了许多非常重要的工作，特别是建立了被认为是代数几何中最漂亮的理论之一的代数曲面分类理论。但是由于早期的代数几何研究缺乏一个严格的理论基础，这些工作中存在不少漏洞和错误，其中个别漏洞直到目前还没有得到弥补。
20世纪以来代数几何最重要的进展之一是它在最一般情形下的理论基础的建立。20世纪30年代，扎里斯基和范·德·瓦尔登等首先在代数几何研究中引进了交换代数的方法。在此基础上，韦伊在40年代利用抽象代数的方法建立了抽象域上的代数几何理论，然后20世纪50年代中期，法国数学家塞尔把代数簇的理论建立在层的概念上，并建立了凝聚层的上同调理论，这个为格罗腾迪克随后建立概型理论奠定了基础，他在讨论班的讲义《代数几何基础》（EGA，SGA，FGA）成为该领域的圣经。概型理论的建立使代数几何的研究进入了一个全新的阶段。概型的概念是代数簇的推广，它允许点的坐标在任意有单位元的交换环中选取，并允许结构层中存在幂零元。”
说道这里，君信顿了顿继续道：“前不久，因为我以代数几何学的思维方法解决了数论领域的莫得尔猜想问题，从而获得了格罗藤迪克先生的亲睐，并与他就这方面的知识进行了相关的讨论。”
君信的话音刚落，底下坐着的人一下子便激动起来，看向君信的眼神也立刻变得格外不同起来。
君信没有理会下面的人，继续说道：“鉴于代数几何发展的历史变迁，我们想要学习这门课需要一定的基础，你需要了解抽象代数、交换代数、同调代数，除此之外，你还需要了解再加上代数拓扑、微分几何、复分析、多复变函数以及黎曼几何、数论等方面的知识。未来两个星期的时间里，这些知识我会挑选最重要的讲解一下，两个星期之后，你们将面临着真正的代数几何学的知识。”
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